Et niveau bliver til to. Og fire.
For 1 < r < 3 tiltrækkes de fleste startværdier i (0, 1) af niveauet 1 − 1/r. Ved r = 3 mister det stabilitet. Bestanden begynder at veksle mellem to niveauer, så fire, otte og videre. Det kaldes periodedobling.
ET LILLE REGNESTYKKE. EN UENDELIG VERDEN.
På kanten af kaos.
Fra ét stabilt niveau til et mønster, der aldrig synes at gentage sig.
Udforsk, hvad der sker, når væksten får lidt mere plads.
xn+1 = r · xn · (1 − xn)DEN LOGISTISKE AFBILDNING
Bifurkationsdiagram
Beregner …Flyt udsnit
Klik for at vælge r · Træk for at zoome · Scroll over grafen for zoom · På mobil: slå markering til, eller brug + og −.
FØLG ÉN VÆKSTPARAMETER
Fra generation til generation
FORSTÅ MØNSTRET
Hvordan bliver en enkel regel
så uforudsigelig?
x er en normaliseret bestand mellem 0 og 1. r styrer væksten, mens faktoren (1 − x) bremser den ved høj bestand. Modellen er en forenkling af virkeligheden; r er ikke direkte en vækstprocent.
En fast regel kan give en usikker fremtid.
Kaos er deterministisk: samme præcise start giver samme forløb. Men små startforskelle kan vokse, så en lang prognose kræver urealistisk præcision. Mange forskellige tegnede punkter er i sig selv ikke et bevis for kaos.
Orden dukker op igen.
Kaos fylder ikke alt efter ophobningspunktet. I regelmæssige vinduer vender stabile cykler tilbage, fx en cyklus med tre værdier ved r = 3,83. Også den kan periodedobles.
4,669… Et tal i forgreningerne.
Afstandene i r mellem successive periodedoblinger bliver mindre. Forholdet mellem en afstand og den næste nærmer sig Feigenbaums konstant δ ≈ 4,669. Her ophobes forgreningerne ved r ≈ 3,569945672. Konstanten findes også i andre glatte afbildninger med ét kvadratisk maksimum.
Om beregningen, præcision og kilder
Hver søjle beregnes på ny fra x₀ med den logistiske afbildning. Først kasseres indkøringen; dernæst tegnes et endeligt antal iterationer. Farvens lysstyrke angiver, hvor ofte værdier rammer samme pixel. Vandret opløsning og antal iterationer tilpasses skærmen og zoomniveauet. Tidsserien bruger samme indkøring som diagrammet.
Nær bifurkationer kan indkøringen være meget langsom. Punkter kan derfor være rester af overgangen, og smalle vinduer kan falde mellem prøverne. JavaScripts 64-bit flydende tal har endelig præcision; dybt zoom giver ikke et matematisk bevis eller uendelige detaljer. Zoom begrænses til aksebredder på 10⁻⁹.
Primærkilder: Robert M. May (1976), Simple mathematical models with very complicated dynamics ↗ · Mitchell J. Feigenbaum (1978), Quantitative universality for a class of nonlinear transformations ↗. De guidede r-værdier er også kontrolleret med direkte iteration; de er eksempler, ikke en automatisk klassifikation af vilkårlige forløb.